ラプラス変換

ラプラス変換の勉強メモです。

ラプラス変換は、時刻 t の関数 \(f(t)\) を複素数領域 \(s\) の関数 \(F(s)\) に変換する方法。

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$$

ここで：

• \(f(t)\)：時間領域の関数（原関数）
• \(F(s)\)：ラプラス変換後の関数

指数関数のラプラス変換

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-st} e^{at} \, dt = \frac{1}{s – a}, \quad \text{ただし } s > a$$

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三角関数のラプラス変換

1. 正弦関数 sin⁡(at)\sin(at)sin(at)

$$\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \int_0^\infty e^{-st} \sin(at) \, dt = \frac{a}{s^2 + a^2}$$

2. 余弦関数 cos⁡(at)\cos(at)cos(at)

$$\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \int_0^\infty e^{-st} \cos(at) \, dt = \frac{s}{s^2 + a^2}$$

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多項式関数のラプラス変換

$$\mathcal{L}\{t^n\} = \int_0^\infty e^{-st} t^n \, dt = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad \text{ただし } n \in \mathbb{N}$$

ラプラス変換表

$$関数 f(t)$$	ラプラス変換 $$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$$	条件

$$1$$

$$\frac{1}{s}$$

$$s>0$$

$$t^ntn (n≥0)$$

$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$

$$s>0$$

$$e^{at}$$

$$\frac{1}{s-a}​

$$s>a$$

$$\sin(at)$$

$$\frac{a}{s^2 + a^2}$$

$$s>0$$

$$\cos(at)$$

$$\frac{s}{s^2 + a^2}​$$

$$s>0$$

$$\sinh(at)$$

$$\frac{a}{s^2 – a^2}$$​

$$s>∣a∣またはs<−∣a∣$$

$$\cosh(at)$$

$$\frac{s}{s^2 – a^2}$$

$$s>∣a∣またはs<−∣a∣$$

$$e^{at} \sin(bt)$$

$$\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}$$

$$s>a$$

$$e^{at} \cos(bt)$$

$$\frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}$$

$$s>a$$

$$\delta(t)$$ (ディラック)

$$1$$

すべての $$s$$

$$u(t)$$ (ステップ関数)

$$\frac{1}{s}$$

$$s>0$$

$$te^{at}$$

$$\frac{1}{(s-a)^2}$$​

$$s>a$$

$$t^n e^{at} (n≥0)$$

$$\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$$

$$s>a$$

$$\cos^2(at)$$

$$\frac{1}{2s} + \frac{s}{2(s^2 + 4a^2)}$$

$$s>0$$

$$\sin^2(at)$$

$$\frac{1}{2s} – \frac{s}{2(s^2 + 4a^2)}$$

$$s>0$$