統計検定準1級勉強中にヤコビアンでつまづいたのでメモ。
確率変数の変数変換
１変数の場合
確率変数Xに対して、\(Y = g(X)\)という確率変数を考える。\(X\) の確率密度関数を\(f(x), Y\) の確率密度関数を\(\phi (y)\)とするとき、
$$P(x<X<x + \Delta x)=f(x)\Delta x$$
\(Y = g(x)\)が単調増加する関数とすると、
$$P(y < Y < y + \Delta y) = P(x < X < x + \Delta x)$$
よって、
$$f(x)\Delta x = \phi(y)\Delta y$$
$$\phi (y) = f(x) \frac{\Delta x}{\Delta y}$$
\(Y = g(x)\)の逆関数 \(x = g^{-1}(y)\)を考えて、上の式に代入すると、
$$\phi (y) = f(g^{-1}(y)) \frac{\Delta g^{-1}(y)}{\Delta y}$$
２変数の場合
X, Yの同時確率密度関数を\(f(x, y)\)として、\(D\)における確率\(P(X, Y)\)を\(x = x(u, v), y = y(u, v)\)に変数変換して考える。
$$P(X,Y) = \iint_{D} f(x, y)dxdy = \iint_{E} f(x(u, v), y(u, v))|J(u,v)|dudv$$
ここで\(J(u,v)\)はヤコビアンで
$$J(u, v) = \begin{vmatrix}{\frac{\partial x}{\partial u}} & {\frac{\partial x}{\partial v}} \\ {\frac{\partial y}{\partial u}} & {\frac{\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}$$
$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^{2} + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime\prime}(a)(x-a)^{3} + …$$
$$x(u + \Delta u)をuまわりでテイラー展開すると$$
$$x(u + \Delta u) = x(u) + f'(u)((u + \Delta u) -u) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(u)((u + \Delta u) -u)^{2} + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime\prime}(u)(u + \Delta u) -u)^{3} + …$$
$$x(u + \Delta u) = x(u) + f'(u)(\Delta u) + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(u)(\Delta u)^{2} + \frac{1}{2!}f^{\prime\prime\prime}(u)(\Delta u)^{3} + …$$
二次項以降は近似して
$$x(u + \Delta u) \simeq x(u) + f'(u)(\Delta u)$$
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