統計検定準1級の勉強をする話①

統計検定2級に合格してから1年以上の月日が経った。

4月まで少し自由な時間があるので、この時間を活かしていい加減準1級の勉強をしていきたい。

第一回は、「事象と確率」

一応2級の時に軽くやってるんだけど、見直した時に英語で書いたことを後悔しました。

包除原理

複数の事象の和の確率を計算するには、ベン図を考えて、(chatGPTに書かせたら醜いやつ出された)

＜事象が２つの時＞

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$

＜事象が３つの時＞

$$\begin{align*} P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(A \cap C) – P(B \cap C) \\ + P(A \cap B \cap C) \end{align*}$$

２つの事象のときは加法定理ですね。

Bが起きたという条件のもとで、Aが起きる条件付き確率は

$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

ここでB→Aという順序関係があるとして、$ P(A|B)$の計算は可能だが、、$ P(B|A)$を計算するのは難しいことが多い

この順序関係を逆転するには、ベイズの定理を用いて

$ P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)} $

これは、Aが起きた原因がBである確率を示しており、Bの事後確率ということになる。

ちなみに事前確率はP(B)である。

複数の互いに排反な原因に関して、ベイズの定理を適用させるためにはより一般的に、

$$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{j} P(B|A_j) \cdot P(A_j)}$$

と書ける。

今回は以上です。