統計検定準1級のテキストが省略しすぎてよくわからないのでメモ。
正規分布の確率密度関数は
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}$$
$$-\infty<x<\infty$$
特に、標準正規分布\(N(0, 1)\)の場合を考える。
\(\mu = 0, \sigma = 1\)を代入して、
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x)^2}{2}}$$
次に、標準正規分布のモーメント母関数を考える。
$$M_X(t) = \int e^{tx}f(x)dx$$
$$M_X(t) = \int e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x)^2}{2}}dx$$
\((x-t)^2\)の形を作って
$$M_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}\int e^{-\frac{(x-t)^2}{2}}dx$$
ここで、\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \, dx = \sqrt{\pi}\)であるから(証明省略。というか知らない。)
$$M_X(t) = e^{\frac{t^2}{2}}$$
このモーメント母関数を一般の正規分布にするには、\(Y = \sigma X +\mu\)と置いて、
$$M_Y(t) = E(e^{ty}) = e^{t\mu}E^{t\sigma x} = e^{t\mu}M_X(\sigma t)$$
よって、
$$M_Y(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$$
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